Tugas 7 [ afifah aulia ]Boolean dan Karnaugh Map

 SOP (Sum of Product) dan POS (Product of Sum) adalah metode untuk menyimpulkan fungsi logika tertentu. Dengan kata lain, ini adalah cara untuk merepresentasikan fungsi logika tereduksi yang disimpulkan. Kita dapat menggunakan fungsi logika deduksi dalam mendesain rangkaian logika.

Dalam bab aljabar Boolean ini akan dibahas beberapa materi mengenai SOP, POS dan Peta Karnough.

Perbedaan sebelumnya antara SOP dan POS adalah bahwa SOP berisi OR dari beberapa istilah produk. Sebaliknya, POS menghasilkan ekspresi logis yang terdiri dari DAN dari beberapa istilah ATAU. Sebelum memahami SOP dan POS, kita harus mempelajari berbagai istilah terkait agar semuanya masuk akal secara kolektif.

Bentuk Kanonik merupakan Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP (Sum of Product) atau POS (Product of Sum) dengan minterm/maxterm. Kanonik memiliki literal yang lengkap. Sedangkan bentuk baku merupakan Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP atau POS dengan minterm atau maxterm mempunyai literal yang tidak lengkap.  Untuk dalam memahami secara lengkap SOP (Sum of Product) diistilahkan dengan jumlah dari hasil perkalian. POS (Product of Sum) diistilahkan dengan perkalian dari hasil penjumlahan.

Untuk dapat memperoleh ekspresi Boolean yang harus diperhatikan hanyalah “output = 1”.  Suku-suku bentuk SOP disebut minterm. sedangkan Untuk mendapatkan mendapatkan bentuk POS (maxterm) diperhatikan hanyalah “keluaran bernilai 0”.


Definisi
Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari" operasi logika AND, OR dan NOR dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen. Boolean adalah suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai. Yaitu true atau false (benar atau salah). Simbol yang digunakan pada aljabar Boolean itu sendiri adalah (.) untuk AND, (+) untuk OR dan ( ) untuk NOR.
Hukum-hukum Aljabar Boolean


Bentuk Kanonik
• Ada dua macam bentuk kanonik:
1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)
2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)


Contoh: 1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz à SOP
Setiap suku (term) disebut minterm
2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) à POS
Setiap suku (term) disebut maxterm
• Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap
Contoh 1. Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS.

Penyelesaian:

(a) SOP

Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah

f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
atau (dengan menggunakan lambang minterm),
f(x, y, z) = m1 + m4 + m7 = å (1, 4, 7)

(b) POS

Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010, 011, 101, dan 110, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah
f(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’+ z)(x + y’+ z’)
(x’+ y + z’)(x’+ y’+ z)
atau dalam bentuk lain,
f(x, y, z) = M0 M2 M3 M5 M6 = Õ(0, 2, 3, 5, 6)

Contoh 2.
Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.
Penyelesaian:
(a) SOP
x = x(y + y’)
= xy + xy’
= xy (z + z’) + xy’(z + z’)
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’
y’z = y’z (x + x’)
= xy’z + x’y’z
Jadi f(x, y, z) = x + y’z
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z
= x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz
atau f(x, y, z) = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = S (1,4,5,6,7)

(b) POS

f(x, y, z) = x + y’z
= (x + y’)(x + z)
x + y’ = x + y’ + zz’


= (x + y’ + z)(x + y’ + z’)
x + z = x + z + yy’
= (x + y + z)(x + y’ + z)
Jadi, f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ + z)
= (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
atau f(x, y, z) = M0M2M3 = Õ(0, 2, 3)

Konversi Antar Bentuk Kanonik

Misalkan

f(x, y, z) = S (1, 4, 5, 6, 7)

dan f ’adalah fungsi komplemen dari f,

f ’(x, y, z) = S (0, 2, 3) = m0+ m2 + m3

Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS:

f ’(x, y, z) = (f ’(x, y, z))’ = (m0 + m2 + m3)’
= m0’ . m2’ . m3’
= (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’
= (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’)
= M0 M2 M3
= Õ (0,2,3)

Jadi, f(x, y, z) = S (1, 4, 5, 6, 7) = Õ (0,2,3).
Kesimpulannya : mj’ = Mj

Peta Karnaugh atau Karnaugh Map atau K-Map yang ditemukan oleh seorang ahli fisika dan matematika bernama Maurice Karnaugh pada tahun 1953. Karnaugh Map atau K-Map adalah suatu teknik penyederhanaan fungsi logika dengan cara pemetaan. K-Map terdiri dari kotak-kotak yang jumlahnya terdiri dari jumlah variable dan fungsi logika atau jumlah inputan dari rangkaian logika yang sedang kita hitung.

Jenis-Jenis K-Map

  • K-Map 2 variabel
  • K-Map 3 variabel
  • K-Map 4 variabel
  • K-Map 5 variabel
  • K-Map 6 variabel
Peta Karnaugh di-"ilustrasikan" seperti matrik 2 dimensi (terdiri atas baris dan kolom) dimana komponen baris dan kolom adalah masukan (input) dari sistem. Input dari masukan inilah yang kemudian disebut variabel K-Map nya. Sehingga ada sebutan K-Map 2 Peubah, K-Map 3 Peubah, 4 peubah dst.

K-Map efektif digunakan hanya sampai 6 peubah saja. Untuk peubah lebih dari 6, tidak lagi di-rekomendasikan menggunakan K-Map karena komputasinya sangat tinggi sehingga disarankan menggunakan program komputer khusus. Tutorial kali ini, saya akan membahas K-Map hingga 4 Variabel.


Soal! 

1.) apa kepanjangan dari SOP? 
A. Summer of pointer
B. Sum of product*
C. Sunday of Productions
D. Sony of PlayStation

2.) apa kepanjangan dari POS? 
A. Product of sum*
B. Proposional of safety
C. Proud of summer 
D. Prosedur of textile

3.) urutan implementasi dari SOP yaitu? 
A. Gerbang NOR digunakan setelah gerbang AND
B. Gerbang OR digunakan setelah gerbang NOR
C. Gerbang AND digunakan setelah gerbang OR
D. Gerbang OR digunakan setelah gerbang AND*

4.) urutan implementasi dari POS yaitu? 
A. Gerbang AND digunakan setelah gerbang OR*
B. Gerbang OR digunakan setelah gerbang NOR
C. Gerbang AND digunakan setelah gerbang OR
D. Gerbang NOR digunakan setelah gerbang AND

5.) bentuk kanonik ada 2 macam yaitu? 
A. SIP dan PAS
B. SOP dan POT
C. SOP dan POS*
D. POS dan SOR

6.) SOP digunakan untuk mengetahui? 
A. Jumlah produk*
B. Jumlah orang
C. Jumlah penduduk
D. Jumlah rumah

7.) POS digunakan untuk mengetahui? 
A. Produk inti
B. Produk jumlah*
C. Produk tambahan
D. Cadangan produk

8.) metode yg digunakan SOP adalah... 
A.  1 mewakili variabel dan 0 adalah komplemennya*
B. 0 mewakili variabel dan 2 adalah komplemennya
C. 1 mewakili variabel dan 0 adalah variabel juga
D. 1 mewakili komplemen dan 0 adalah variabel

9.) metode yg digunakan POS adalah... 
A. 1 mewakili komplemen dan 0 adalah variabel
 B. 1 mewakili variabel dan 2 adalah komplemennya
C. 0 mewakili variabel dan 1 komplemen variabel*
D. 1 mewakili variabel dan 0 adalah komplemennya

10.) Suku bentuk SOP disebut... 
A. Minxern
B. Minterm*
C. Maxterm
D. Maxxing

11.) suku bentuk POS disebut... 
A. Minxern
B. Minterm
C. Maxterm*
D. Maxxing

12.) pada tahun berapa karnaugh maps ditemukan? 
A. 2001
B. 1953*
C. 1999
D. 1925

13.) Ada berapa jenis karnaugh maps? 
A. 1
B. 4
C. 9
D. 5*

14.) Karnaugh maps merupakan teknik... Fungsi logika dengan cara pemetaan. 
A. Penyederhanaan*
B. Penyusunan
C. Perkalian
D. Penambahan

15.) Karnaugh maps ini terdiri dari kotak-kotak dua dimensi yang disusun mengikuti aturan kode... 
A. Gray*
B.Alam
C. Etik
D. Gta

16.) Langkah – langkah pemetaan K-Map secara umum terdiri dari.... Langkah
A. 10
B. 14
C. 18
D. 5*

17.) Rumus untuk menentukan jumlah kotak pada K-Map adalah... 
A. YxZ
B.2^n *
C. 1x2x1
D. XxY2

18.) Karnaugh maps adalah... 
A. Penyederhanaan fungsi*
B. Perkalian aljabar
C. Penambahan aljabar
D. Pembagian fungsi

19.) aljabar memiliki fungsi 3yaitu 
A. And, or, not*
B. Or, than, that
C. And. Then, that
D. Or, now, and

20.) karnaugh maps dan aljabar pos & SOP memiliki kesinambungan untuk... 
A. Perkalian
B. Penambahan
C. Pembagian
D. Penyederhanaan fungsi *




Komentar

Posting Komentar